2 de octubre de 2013

Instituto IdeM

Recomendación: para aprobar el examen de ingreso a UTN, buscá www.institutoidem.net y hacé el curso de ingreso para UTN.

Es garantía de aprobación.

Suerte.

13 de agosto de 2010

Algo sobre conjuntos (Problema 5)

Creo que puedo hablar por todos cuando digo que hemos trabajado con diagramas de Venn al aprender matemática. Probablemente en la primaria. Al menos yo recuerdo que hacíamos en la mesa unos círculos con lana y le poníamos adentro objetos que eran los elementos del conjunto. Esa imagen la tengo grabada en la cabeza.

Resulta que los diagramas de Venn plantean algunos problemas no relacionados con la teoría de conjuntos, pero si con teoría de grafos y cosas relacionadas.

Para empezar digamos que un conjunto de líneas cerradas (por ejemplo círculo, cuadrado, elipse, etc) será llamado diagrama de Venn cuando cumpla una única condición:

Cada zona determinada por las líneas debe estar encerrada por un único conjunto de líneas. O sea, si tenemos dos círculos, a los que llamamos A y B, que se intersecan en dos puntos, quedan determinadas 3 zonas, una de ellas sólo está encerrada por A, otra por B y otra por AyB.
Entonces esa disposión es un diagrama de Venn.
Imagen tomada de http://www.nataliedee.com

Aquí tenemos una imagen que ilustra perfectamente lo dicho. Está en inglés porque la saqué de otra página (o alguien creía que me iba a poner a producir material original para esto... no por ahora al menos).
Si juntamos tres círculos, podemos lograr el mismo objetivo, con una zona en el medio que pertenece a los tres conjuntos, tres zonas que pertenecen a dos de ellos cada una, y otras tres que pertenecen a uno solo de ellos cada una.
Les pongo una imagen, que dice más que mil palabras (o al menos más que las 43 que usé en el párrafo anterior para explicarlo).

Imagen tomada de http://www.yourdictionary.com

Y hasta ahí se llega con círculos. Con cuatro ya no se puede disponer de ellos en posición alguna que provea zonas para cada combinación de conjuntos, es decir, para poder hacer cuatro conjuntos y representarlo en un diagrama de Venn, habría que deformar un poco las figuras, como se ve en esta imagen:
Imagen tomada de http://www.graphic.org



Se puede demostrar que 3 es el máximo DV que se puede hacer con círculos, así como se puede demostrar que si se lo hace con elipses, el máximo es 5. También existe la posibilidad de hacerlo con triángulos, por ejemplo:


Imagen tomada dehttp://www.fejes.ca
              Tenemos 5 triángulos que determinan una cierta cantidad de zonas que cumplen lo antedicho, por lo que se trata de un diagrama de Venn de 5 conjuntos, logrado con 5 triángulos.
Lo que me interesa es encontrar un diagrama de Venn formado por 6 triángulos... el problema es que no se sabe si existe... es decir, es un problema abierto.
Si alguien quiere, se pone a verlo y pensarlo. Puede llegar a conseguir fama (pequeña y sólo entre matemáticos, pero fama al fin).


Los dejo con la inquietud.


Para que no se frustren, les doy otra cosa para resolver: hallar una fórmula para determinar la cantidad de zonas determinadas por n conjuntos.

Saludos....

RESPUESTA ACÁ 

Primos (Problema 4)

Uno fácil (ojo).
Se trata de demostrar (o demostrar la falsedad, claro) que entre n^2 y (n+1)^2 siempre hay al menos un número primo.

Por si alguien realmente desinformado sobre cuestiones matemáticas entra y quiere participar, le cuento:

Un número primo es aquel que sólo es divisible por si mismo y por 1. Podríamos agregar los negativos (de hecho están ahí, por supuesto) y decir que un número es primo si sólo es divisible por el mismo número, su opuesto, 1 y -1. Pero como en este problema trabajamos con cuadrados, y éstos son siempre positivos, podemos dejarlos de lado por hoy.

Entonces tenemos números primos y números que no son primos. Estos últimos son aquellos que son divisibles por algún otro número además de los ya mencionados. Por ejemplo, el 10 no es primo, porque es divisible por 1, por 10, pero también por 2 y por 5. En cambio el 13 es primo, porque sólo es divisible por 1 y 13 (recordemos que dejé a los negativos fuera de este planteo, porque no vienen al caso).

Esos números no primos, se llaman compuestos.

Y por último tenemos números que no son ni primos ni compuestos, que son el 1, el 0 (y el -1, claro).

La idea es ver si siempre habrá un primo entre n^2 y (n+1)^2  (El símbolo "^" significa "elevado a").

Por ejemplo, si tomo n=3, debemos encontrar al menos un número primo entre 3^2 y 4^2, es decir, entre 9 y 16. En este caso tenemos el 11 y el 13. Es decir, para n=3 se cumple.

El objetivo es demostrar (o refutar) que para cualquier n perteneciente a los naturales, SIEMPRE habrá algún primo entre n^2 y (n+1)^2.

Nos vemos por ahí...

Misioneros y africanos (Problema 3)

Este problema lo tomé prestado de un examen que encontré buscando otra cosa que no viene al caso. 
Se trata, al parecer, de un ejercicio básico de conteo. Veremos qué tan básico resulta ser, yo no tengo idea porque todavía no lo he visto. Dice así:

En un poblado africano hay 32 misioneros, cada uno de los cuales ha convertido a 5
indígenas. Por otra parte, cada indígena ha sido convertido por 8 misioneros. 
¿Cuál es el número de indígenas?

Ojo que puede ser una pavada, o puede ser complicado. Insisto, no lo pensé aún.

Saludos

 RESPUESTA ACÁ

Pitágoras (Problema 2)

Todos sabemos que Pitágoras (o alguien conocido de él, o alguien que nunca lo vio, o alguien) descubrió que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Bah, todos no, seguro que no, pero muchos seguro.

Una de las inquietudes que han tenido algunos matemáticos profesionales y amateurs es la de encontrar ternas pitagóricas, es decir, ternas de números que podrían ser los lados de un triángulo rectángulo.

La más simple de ellas es (3,4,5) que cumple que 9+16=25. Cualquier múltiplo de una terna pitagórica, es también pitagórica. Así, (6,8,10), (15, 20, 25), etc, son todas TP (a partir de ahora TP es "terna pitagórica", ok?).
Las TP que no pueden reducirse a otras, es decir, que no son múltiplos de otra terna, se llaman ternas pitagóricas primitivas, o TPP. Como dije antes, (3,4,5) es la más simple, ya que es la TPP con los números más chicos.
Varias fórmulas se han encontrado para hallar TP de cualquier clase, o para hallar solamente TPP. Cualquiera que busque un poco, podrá encontrar alguna de ellas...

Cierto día estaba dando vueltas a unos números, jugando con TP's, muy entretenido (piensen que hace 15 años, que fue cuando estaba haciendo esto que cuento, no había internet, o era apenas el comienzo de algo que pocos tenían y no se sabía muy bien para qué servía) y encontré una fórmula (en realidad son tres fórmulas) para calcular, dado un número n natural, una TP (no recuerdo si era TP o TPP).
Pasado el tiempo, la he buscado por la red, en libros, etc, y no la encontré. Las fórmulas que siempre aparecen utilizan dos números.

El desafío de este post es encontrar esas fórmulas (u otras que cumplan idéntica función).

Saludos.

RESPUESTA ACÁ 

12 de agosto de 2010

Un problema de conjuntos (Problema 1)

Supongamos que tenemos un conjunto de todos los números del 1 al 2010.

A={1,2,3,4,5.... 2009,2010}

Y escribimos TODOS los subconjuntos de ese conjunto, lo que se denomina Conjunto de Partes y se escribe P(A).

Cuando digo TODOS, me refiero a todos los subconjuntos de 1 elemento, de 2 elementos, de 3, 4, 5, etc.

La cantidad de subconjuntos que tiene cualquier conjunto es 2 elevado al número de elementos del conjunto. Si fueran 3 elementos, por ejemplo, tendríamos 2 al cubo, es decir, 8 subconjuntos. Les muestro esto con un ejemplo:

A={1,2,3}

P(A)={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}

El primero, que puse un cero, representa el conjunto vacío. El último, A, es el mismo conjunto. Ambos son subconjuntos de A. En total, como puede verse, hay 8. Pero volvamos a lo que iba...

Tenemos entonces un conjunto con 2010 elementos, lo que hace que su conjunto de partes tenga 2 elevado a 2010 elementos... un número realmente grande.

Luego ponemos esos conjuntos, todos, escritos en una lista que en alguna parte podría ser así:

P={1,23,45,89}
Q={3,36,98,145,337}

Y así siguiendo.

Ahora calculamos en cada uno la suma alternada de sus elementos, previamente ordenados de menor a mayor. En el ejemplo, los conjuntos P y Q ya están ordenados. La suma alternada la haremos tomando el primer elemento positivo y luego alternando las sumas y restas. En los dos conjuntos del ejemplo quedaría así:

1-23+45-89=-66
3-36+98-145+337=257

Luego de hacer este cálculo con los 117568583196083663281442119800594635163885332693882388528910616250958465166578720138921931398810242039648866779032316188000984981592376865938015370871465286184069108884799774720705309847797805948343221237825009914656374234773901684682052634665437546466206716475558296380359300716158271129125032163297620665696428962800085509736836592443303996314557211136439298781907584850454536327409952042763538312516819557371285932162070302575005739171689659649577870780315742126648276770395824168099923924189829716741509555797735439901029157293498423817129242402695808179645981492042590997317596624652477287576606081024 conjuntos, procedemos a sumar todos los resultados.

La pregunta, que es bastante simple, es cuánto da exactamente esa suma final.

Dos aclaraciones:

-De más está decir que no es necesario hacer efectivamente el cálculo, teniendo en cuenta que, si para cada conjunto usted demora en escribirlo, hacer la cuenta y anotar el resultado, digamos, 3 segundos, estaríamos hablando de un trabajo que, puestos a realizarlo durante un tiempo igual a 1 trillón de trillones de veces la edad del universo, todavía no llegaríamos al 1% del trabajo total. Conclusión: hay que pensar...

-El número que puse como resultado de 2 elevado a 2010 así como el cálculo del tiempo del párrafo anterior, son estrictamente ciertos.

RESPUESTA ACÁ

A modo de presentación

Buenos días, buenas tardes, buenas noches...

Este será un blog con posts de varios rubros. Por un lado, explicaciones de cuestiones matemáticas de variado nivel. Por otro lado, planteo de problemas para ser resueltos y debatidos en comunidad. Por último, novedades relevantes del mundo de la matemática.

Vale aclarar que todo eso, los problemas, las explicaciones y las novedades serán un fiel reflejo de lo que yo sé, o estoy aprendiendo. Es decir que, por ejemplo, las novedades serán aquellas que lleguen a mí de modo casual, nunca investigando en busca de una información interesante. Lo mismo con los temas y los problemas.

En resumen, no voy a vivir aquí dentro. Devido a esto, es probable que los posts no sean diarios, ya que dependerán de que se me ocurra algo, de que tenga las ganas y el tiempo de ponerlo aquí.

Sobre la forma de comentar los problemas o notas, voy a investigar el lenguaje llamado "Latex" para ver cómo funciona y de qué manera implementarlo aquí.

Los dejo ahora.

Como primer problema, les dejo el título del blog, "Sin golpe seco" que nada tiene que ver con el contenido, aunque si lo que con esas letras puede formarse (que no es una sola palabra).