Un problema de conjuntos (Problema 1)

Supongamos que tenemos un conjunto de todos los números del 1 al 2010.

A={1,2,3,4,5.... 2009,2010}

Y escribimos TODOS los subconjuntos de ese conjunto, lo que se denomina Conjunto de Partes y se escribe P(A).

Cuando digo TODOS, me refiero a todos los subconjuntos de 1 elemento, de 2 elementos, de 3, 4, 5, etc.

La cantidad de subconjuntos que tiene cualquier conjunto es 2 elevado al número de elementos del conjunto. Si fueran 3 elementos, por ejemplo, tendríamos 2 al cubo, es decir, 8 subconjuntos. Les muestro esto con un ejemplo:

A={1,2,3}

P(A)={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}

El primero, que puse un cero, representa el conjunto vacío. El último, A, es el mismo conjunto. Ambos son subconjuntos de A. En total, como puede verse, hay 8. Pero volvamos a lo que iba...

Tenemos entonces un conjunto con 2010 elementos, lo que hace que su conjunto de partes tenga 2 elevado a 2010 elementos... un número realmente grande.

Luego ponemos esos conjuntos, todos, escritos en una lista que en alguna parte podría ser así:

P={1,23,45,89}
Q={3,36,98,145,337}

Y así siguiendo.

Ahora calculamos en cada uno la suma alternada de sus elementos, previamente ordenados de menor a mayor. En el ejemplo, los conjuntos P y Q ya están ordenados. La suma alternada la haremos tomando el primer elemento positivo y luego alternando las sumas y restas. En los dos conjuntos del ejemplo quedaría así:

1-23+45-89=-66
3-36+98-145+337=257

Luego de hacer este cálculo con los 117568583196083663281442119800594635163885332693882388528910616250958465166578720138921931398810242039648866779032316188000984981592376865938015370871465286184069108884799774720705309847797805948343221237825009914656374234773901684682052634665437546466206716475558296380359300716158271129125032163297620665696428962800085509736836592443303996314557211136439298781907584850454536327409952042763538312516819557371285932162070302575005739171689659649577870780315742126648276770395824168099923924189829716741509555797735439901029157293498423817129242402695808179645981492042590997317596624652477287576606081024 conjuntos, procedemos a sumar todos los resultados.

La pregunta, que es bastante simple, es cuánto da exactamente esa suma final.

Dos aclaraciones:

-De más está decir que no es necesario hacer efectivamente el cálculo, teniendo en cuenta que, si para cada conjunto usted demora en escribirlo, hacer la cuenta y anotar el resultado, digamos, 3 segundos, estaríamos hablando de un trabajo que, puestos a realizarlo durante un tiempo igual a 1 trillón de trillones de veces la edad del universo, todavía no llegaríamos al 1% del trabajo total. Conclusión: hay que pensar...

-El número que puse como resultado de 2 elevado a 2010 así como el cálculo del tiempo del párrafo anterior, son estrictamente ciertos.

RESPUESTA ACÁ